Question

7．在平面直角坐標系中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）（0$≤θ≤\frac{π}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{AB}$$⊥\overrightarrow{a}$且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，求向量$\overrightarrow{OB}$；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，常數k＞0，當tsinθ取最大值為4時，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 （1）根據所給的點的坐標寫出向量的坐標，根據兩個向量垂直數量積為零，得到一個關于變量的方程，題目另一個條件是兩個向量模長之間的關系，列出方程解出結果．
（2）根據向量共線的充要條件，寫出變量之間的關系式，根據二次函數的最值特點得到結果，求出變量的值，寫出向量的數量積．

解答 解：（1）點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）（0$≤θ≤\frac{π}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（n-8，t），
∵$\overrightarrow{AB}$$⊥\overrightarrow{a}$，
∴n=2t+8，
∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，
∴（2t）²+t²=5×64，
解得t=±8，
當t=8時，n=24；當t=-8時，n=-8，
∴$\overrightarrow{OB}$=（24，8）或$\overrightarrow{OB}$=（-8，-8），
（2）$\overrightarrow{AC}$=（ksinθ-8，t），
∵向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，
∴t=16-2ksinθ，
∴f（θ）=tsinθ=（-2ksinθ+16）sinθ=-2k（sinθ-$\frac{4}{k}$）²+$\frac{32}{k}$，
∵0≤θ≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤sinθ≤1，
若0＜k＜4時，則$\frac{4}{k}$＞1，
當sinθ=1時，tsinθ取最大值16-2k，由16-2k=4，解得k=6，舍去．
當k≥4時，0＜$\frac{4}{k}$≤1，當sinθ=$\frac{k}{4}$時，tsinθ取最大值為$\frac{32}{k}$，由$\frac{32}{k}$=4，解得k=8，
此時，θ=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{OC}$=（4，8），
故$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OC}$=（8，0）•（4，8）=32

點評 要讓學生體會思路的形成過程，體會數學思想方法的應用．要學生發現解題方法和思路的形成過程，總結解題規律．學生要搞好解題后的反思，從而提高學生綜合應用知識分析和解決問題的能力．