Question

18．已知△ABC的三邊長為 a、b、c，且其中任意兩邊長均不相等．若a、b、c成等差數列．
（1）比較$\sqrt{\frac{b}{a}}$與$\sqrt{\frac{c}{b}}$的大小，并證明你的結論；
（2）求證角B不可能超過$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由條件可得2b=a+c，利用基本不等式可得b²≥ac，再利用分析法即可證明；
（2）由條件得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，兩式聯立消去b，得到關于a與c的關系式，整理后利用基本不等式變形，可得出cosB的范圍，利用余弦函數的圖象與性質，以及特殊角的三角函數值，根據B為三角形的內角，即可求出B的范圍．

解答 解：（1）∵△ABC的三邊a，b，c成等差數列，∴2b=a+c，
∴b=$\frac{a+c}{2}$≥$\sqrt{ac}$，∴b²≥ac．
要證$\sqrt{\frac{b}{a}}$≥$\sqrt{\frac{c}{b}}$，
只要證$\frac{b}{a}$≥$\frac{c}{b}$，
只要證b²≥ac，
故$\sqrt{\frac{b}{a}}$≥$\sqrt{\frac{c}{b}}$成立
（2）證明：△ABC的三邊a，b，c成等差數列，∴2b=a+c，
再根據 cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）}{8ac}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{6ac}{8ac}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
∴角B不可能超過$\frac{π}{3}$．

點評 此題考查了余弦定理，等差、等比數列的性質，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵，屬于中檔題．