Question

18．設命題p：方程x²+m²y²=1表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：在平面直角坐標系xOy中，圓x²+y²=4上至少有三個點到直線3x-4y+m-5=0的距離為1，若p且q為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p為真時m的取值范圍，命題q為真時m的取值范圍；
當p且q為假時，p假或q假，由此求出m的取值范圍．

解答 解：命題p為真時，方程x²+m²y²=1表示焦點在y軸上的橢圓，
∴0＜m²＜1，解得-1＜m＜0或0＜m＜1；
命題q為真時，即圓x²+y²=4上至少有三個點到直線3x-4y+m-5=0的距離為1，
所以圓心到直線的距離小于或等于1，即$\frac{|m-5|}{5}$≤1，
解得0≤m≤10；
若p且q為假，則p假或q假，
若p為假時，則m≤-1或m=0或m≥1；
若q為假時，則m＜0或m＞10；
所以p且q為假時，實數m的取值范圍是m≤0或m≥1．

點評 本題考查了復合命題的真假性問題，也考查了圓錐曲線的簡單應用問題，是中檔題．