Question

10．如圖，等腰三角形ABC中，E為底邊BC的中點，△AEC沿AE折疊，將點C折到點P的位置，使二面角P-AE-B為60°，設點P在平面ABE上的射影為H．
（Ⅰ）證明：點H為EB的中點；
（Ⅱ）若AB=AC=2$\sqrt{2}$，AB⊥AC，求直線BE與平面ABP所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AE⊥BC，推出AE⊥EB，AE⊥KP，得到AE⊥面EPB．說明∠PEB為二面角P-AE-B的平面角，說明△PEB為等邊三角形，然后證明PH⊥平面ABE，推出EB的中點H為P在平面ABE上的射影．
（Ⅱ）過點H，作HF⊥AB于F，以$\overrightarrow{HF}$方向為x軸，$\overrightarrow{HB}$方向為y軸，$\overrightarrow{HP}$方向為z軸建立空間直角坐標系H-xyz，求出相關點的坐標，平面PAB的法向量，然后求解直線BE與平面ABP所成角的正弦函數值．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）依題意，AE⊥BC，則AE⊥EB，AE⊥KP，EB∩EP=E．
∴AE⊥面EPB．
故∠PEB為二面角P-AE-B的平面角，
所以∠PEB=60°，因為PE=BE，所以△PEB為等邊三角形，

所以，若H為EB中點，則PH⊥EB，又因為AE⊥面EPB，
所以AE⊥PH，因為AE∩EB=E，且AE，EB?平面ABE，所以PH⊥平面ABE，
所以EB的中點H為P在平面ABE上的射影．

（Ⅱ）過點H，作HF⊥AB于F，因為PH⊥平面ABE，所以PH⊥HB，PH⊥HF，
所以以$\overrightarrow{HF}$方向為x軸，$\overrightarrow{HB}$方向為y軸，$\overrightarrow{HP}$方向為z軸建立空間直角坐標系H-xyz，
由題知，$B（{0，1，0}），E（{0，-1，0}），P（{0，0\sqrt{3}}），A（{2，-1，0}）$，所以$\overrightarrow{EB}=（{0，2，0}），\overrightarrow{PA}=（{2，-1，-\sqrt{3}}），\overrightarrow{PB}=（{0，1，-\sqrt{3}}）$，
設平面PAB的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，所以$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y-\sqrt{3}z=0}\\{y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，
令$z=\sqrt{3}$，則y=3，x=3，所以$\overrightarrow n=（{3，3，\sqrt{3}}）$，
所以$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{EB}}\right＞=\frac{6}{{\sqrt{4}\sqrt{9+9+3}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
設直線BE與平面ABP所成角為θ，則$sinθ=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點評 考查直線與平面垂直，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．