Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8個不同的實數(shù)根，則由點（b，c）確定的平面區(qū)域的面積為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象判斷f（x）=t的根的個數(shù)情況，從而得出關(guān)于t的方程t²-bt+c=0的解的分布情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，作出可行域即可得出答案．

解答 解：作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)f（x）=t，則當t＜-3時，方程f（x）=t無解，
∴當t=-3時，方程f（x）=t只有1解，
當-3＜t＜0時，方程f（x）=t有2解，
當t=0或t＞1時，方程f（x）=t有3解，
當0＜t≤1時，方程f（x）=t有4解，
∵關(guān)于x的方程f²（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8個不同的實數(shù)根，
∴關(guān)于t的方程t²-bt+c=0在（0，1]上有兩解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{0＜\frac{b}{2}＜1}\\{{b}^{2}-4c＞0}\\{1-b+c≥0}\end{array}\right.$，
做出平面區(qū)域如圖所示：

聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得b=2，c=1．
∴由點（b，c）確定的平面區(qū)域的面積為S=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了方程根的個數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于中檔題．