Question

13．已知函數f（x）滿足$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，當x∈[1，4]時，f（x）=lnx，若在區間$[{\frac{1}{4}\;，\;4}]$內，曲線g（x）=f（x）-ax與x軸有三個不同交點，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{e}\;，\;ln4}]$
• B． $（{\frac{1}{2e}\;，\;ln4}]$
• C． $[{\frac{ln4}{4}\;，\;\frac{1}{2e}}）$
• D． $[{\frac{ln4}{4}\;，\;\frac{1}{e}}）$

Answer 1

分析 求出f（x）在[$\frac{1}{4}$，4]上的解析式，做出f（x）的函數圖象，根據y=ax與y=f（x）有3個交點得出a的范圍．

解答 解：當x∈[$\frac{1}{4}$，1]時，$\frac{1}{x}$∈[1，4]，∴f（x）=ln$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln\frac{1}{x}，\frac{1}{4}≤x＜1}\\{lnx，1≤x≤4}\end{array}\right.$．
令g（x）=0得f（x）=ax，
做出y=f（x）的函數圖象如圖所示：

設y=k₁x過點（4，ln4），則k₁=$\frac{ln4}{4}$，
設y=k₂x與y=lnx相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={k}_{2}{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{{k}_{2}=\frac{1}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=1，k₂=$\frac{1}{e}$．
∵在區間$[{\frac{1}{4}\;，\;4}]$內，曲線g（x）=f（x）-ax與x軸有三個不同交點，
∴y=f（x）與y=ax的函數圖象在[$\frac{1}{4}$，4]上有3個交點．
∴$\frac{ln4}{4}≤a＜\frac{1}{e}$．
故選D．

點評 本題考查了函數零點個數與函數圖象的關系，做出f（x）的函數圖象是解題關鍵，屬于中檔題．