Question

4．已知-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx+cosx=$\frac{1}{2}$．求$\frac{si{n}^{2}\frac{x}{2}-2sinxcosx+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{tanx+cotx}$的值．

Answer 1

分析 由已知平方后得到：sinxcosx=-$\frac{3}{8}$，（sinx-cosx）²=1-sin2x=$\frac{7}{4}$，利用三角函數恒等變換的應用化簡所求即可計算得解．

解答 解：∵-$\frac{π}{2}$＜x＜0，
∴sinx＜0，cosx＞0，則sinx-cosx＜0，
又sinx+cosx=$\frac{1}{2}$①，平方后得到：1+2sinxcosx=$\frac{1}{4}$，
∴sinxcosx=-$\frac{3}{8}$，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{7}{4}$，
∴$\frac{si{n}^{2}\frac{x}{2}-2sinxcosx+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{tanx+cotx}$=$\frac{1-2sinxcosx}{\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}}$=$\frac{（sinx-cosx）^{2}}{\frac{1}{sinxcosx}}$=$\frac{7}{4}$×（-$\frac{3}{8}$）=-$\frac{21}{32}$．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．