Question

18．設函數f（x）=x³+ax²，若曲線y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為x+y=0，則點P的坐標為（　　）

• A． （0，0）
• B． （1，-1）
• C． （-1，1）
• D． （1，-1）或（-1，1）

Answer 1

分析 由曲線y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為x+y=0，導函數等于-1求得點（x₀，f（x₀））的橫坐標，進一步求得f（x₀）的值，可得結論．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²，
∴f′（x）=3x²+2ax，
∵函數在點（x₀，f（x₀））處的切線方程為x+y=0，
∴3x₀²+2ax₀=-1，
∵x₀+x₀³+ax₀²=0，解得x₀=±1．
當x₀=1時，f（x₀）=-1，
當x₀=-1時，f（x₀）=1．
故選：D．

點評 本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，函數在某點處的導數值就是對應曲線上該點處的切線的斜率，是中檔題．