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8.等差數列{an}中,a3=8,a7=20,若數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{4}{25}$,則n的值為16.

分析 由等差數列通項公式列出方程組,求出a1=2,d=3,從而$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}$),進而得到數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為Sn=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}$),由此利用數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{4}{25}$,能求出n的值.

解答 解:∵等差數列{an}中,a3=8,a7=20,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=8}\\{{a}_{7}={a}_{1}+6d=20}\end{array}\right.$,
解得a1=2,d=3,
∴an=2+(n-1)×3=3n-1,
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}$),
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為:
Sn=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+2}$)=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}$),
∵數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{4}{25}$,∴$\frac{1}{3}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2})$=$\frac{4}{25}$,
解得n=16.
故答案為:16.

點評 本題考查等差數列的項數n的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意等差數列的性質的合理運用.

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