Question

20．已知函數(shù)f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由商的關(guān)系、兩角差的余弦和正弦函數(shù)、二倍角公式及其變形化簡解析式，由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范圍求出$2x-\frac{π}{3}$的范圍，由正弦函數(shù)的增區(qū)間求出答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
=4$\frac{sinx}{cosx}$•cosx•（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=2sinxcosx+2$\sqrt{3}si{n}^{2}x$-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$（1-cos2x）-$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
所以f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]得，$2x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，則$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}]$，
由$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$得，$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換中的公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及三角函數(shù)的周期公式的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．