Question

用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個圓心角為α的扇形，制成一個圓錐形容器，要使容器的容積最大，扇形的圓心角α=（　　）

• A、

  2π

  3

• B、

  2 3

  3

  π
• C、

  6

  3

  π
• D、

  2 6

  3

  π

Answer 1

考點：弧度制的應用

專題：綜合題,導數的概念及應用,空間位置關系與距離

分析：設圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達式，利用導數求出函數的最大值，得到結果．

解答：解：設圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r²+h²=R²，
因此，V=

1

3

πr2h=

1

3

πR2h-

1

3

πh3（0＜h＜R）
∴V′=

1

3

πR2-πh2．
令V′=0，得h=

3

3

R，
當0＜h＜

3

3

R時，V′＞0．
當

3

3

R＜h＜R時，V′＜0．
∴h=

3

3

R時，V取得極大值，并且這個極大值是最大值．
把h=

3

3

R代入r²+h²=R²，得r=

6

3

R．
由Rα=2πr，得α=

2 6

3

π
即圓心角α為

2 6

3

π弧度時，漏斗容積最大．
故選：D．

點評：本題考查圓錐與扇形展開圖的關系，體積的計算，考查計算能力，導數的應用，必須注意函數的單調性與最值的關系．