Question

20．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的一個三棱錐的三視圖，則該三棱錐的表面積為（　　）

• A． $\frac{{15+\sqrt{17}}}{2}$
• B． $\frac{{13+\sqrt{17}}}{2}$
• C． $\frac{{11+\sqrt{17}}}{2}$
• D． $\frac{{9+\sqrt{17}}}{2}$

Answer 1

分析 以正方體為載體作出三棱錐的直觀圖，求出棱錐的各棱長，利用余弦定理求出各面面積．

解答 解：設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為2，M，N分別是A₁B₁，A₁D₁的中點，
則三棱錐C-AMN為所求幾何體．
由圖可知AM=AN=$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，CM=CN=3，
由余弦定理得cos∠MAN=$\frac{5+5-2}{2•\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，∴sin∠MAN=$\frac{3}{5}$，
∴S_△MAN=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{3}{2}$，
同理可得S_△MCN=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，S_MAC=S_△NAC=3，
∴棱錐的表面積S=$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}+3×2$=$\frac{15+\sqrt{17}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了棱錐的結構特征和三視圖，作出棱錐的直觀圖是解題關鍵，屬于中檔題．