Question

5．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x+2，cosx），\overrightarrow n=（1，2cosx）$
（1）若$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，求x的值；
（2）設函數$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，求f（x）的最小正周期及單調遞減區間．

Answer 1

分析 （1）由向量共線坐標表示，結合特殊角的函數值，即可得到所求x的值；
（2）運用向量的數量積的坐標表示和二倍角公式，化簡整理，結合周期公式和單調區間，解不等式即可得到所求遞減區間．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x+2，cosx），\overrightarrow n=（1，2cosx）$，
若$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，則cosx=2cosx（$\sqrt{3}$sin2x+2），
可得cosx=0或$\sqrt{3}$sin2x+2=$\frac{1}{2}$，
即有x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
或sin2x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即2x=2kπ+$\frac{4π}{3}$或2x=2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，
綜上可得，x═kπ+$\frac{π}{2}$，或x=kπ+$\frac{2π}{3}$，或x=kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z；
（2）函數$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+2
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+3=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
即有f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{π}$=2；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
可得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即有單調遞減區間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題考查向量共線的坐標表示和向量的數量積的坐標表示，考查二倍角公式和正弦函數的圖象和性質，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．