Question

16．如圖，在邊長為4的等邊三角形ABC中，點D，E，F分別是邊AB，AC，BC的中點，DC∩EF=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖的四棱錐P-ABFE，且PB=$\sqrt{10}$．
（1）求證：AB⊥平面POD；
（2）求四棱錐P-ABFE的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AB∥EF，EF⊥DO，EF⊥PO，由此能證明AB⊥平面POA．
（2）連接BO，推導出PO⊥平面ABFE，由此能求出四棱錐P-BFED的體積．

解答 證明：（1）∵點E，F分別是邊CA，CB的中點，∴AB∥EF．
∵CD⊥EF，∴EF⊥DO，EF⊥PO，
∵DO?平面POA，PO?平面POA，DO∩PO=O，
∴EF⊥平面POD．∴AB⊥平面POA．
解：（2）連接BO，∴$CD=2\sqrt{3}，DO=PO=\sqrt{3}$，
在Rt△BHO中，$BO=\sqrt{B{D^2}+D{O^2}}=\sqrt{7}$，
在△PBO中，BO²+PO²=10=PB²，
∴PO⊥BO．
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，BO?平面BFED，
∴PO⊥平面ABFE．
梯形BFED的面積為$S=\frac{1}{2}（{EF+AB}）•DO=3\sqrt{3}$，
∴四棱錐P-BFED的體積$V=\frac{1}{3}S•PO=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．