Question

5．已知a，b為正實數，直線y=x-a與曲線y=ln（x+b）相切，則$\frac{{a}^{2}}{2-b}$的取值范圍是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （0，1）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求函數的導數，利用導數構造函數，判斷函數的單調性即可．

解答 解：函數y=ln（x+b）的導數為y′=$\frac{1}{x+b}$=1，x=1-b，切點為（1-b，0），代入y=x-a，得a+b=1，
∵a、b為正實數，∴a∈（0，1），
則$\frac{{a}^{2}}{2-b}$=$\frac{{a}^{2}}{1+a}$，
令g（a）=$\frac{{a}^{2}}{1+a}$，則g′（a）=$\frac{a（a+2）}{（1+a）^{2}}$＞0，
則函數g（a）為增函數，
∴$\frac{{a}^{2}}{2-b}$∈（0，$\frac{1}{2}$）．
故選：C．

點評 本題主要考查導數的應用，利用導數的幾何意義以及函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．