Question

17．已知函數f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$．
（1）求函數f（x）最大值，并求出相應的x的值；
（2）若關于x的不等式．f（x）≤|m-2|恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求函數f（x）的定義域，再利用導數法求得f（x）的最大值及相應的x的值；
（2）利用（1）中的結論f（x）_max=5，再解不等式5≤|m-2即可求得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{5-x≥0}\end{array}\right.$得：0≤x≤5．
∵f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$=$\frac{2\sqrt{5-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}•\sqrt{5-x}}$，
令f′（x）=0，解得x=4．
當0≤x＜4時，f′（x）＞0，故f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$在區間[0，4）上單調遞增，
當4＜x≤5時，f′（x）＜0，故f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$在區間（4，5]上單調遞減，
∴當x=4時，f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$取得極大值，也是最大值，
∴f（x）_max=f（4）=5．
（2）若關于x的不等式．f（x）≤|m-2|恒成立，則|m-2|≥f（x）_max=5，
解得：m≤-3或m≥7．
∴實數m的取值范圍為：（-∞，-3]∪[7，+∞）．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查導數法求最值，求得f（x）_max=f（4）=5是關鍵，考查轉化思想與運算求解能力，屬于難題．