Question

20．設S_n為等差數列{a_n}的前n項和，S₁₀=110，S₁₅=240．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，由S₁₀=110，S₁₅=240．可得$10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}$d=110，$15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}$d=240，聯立解得a₁，d，即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2（n+1）}{2n}$+$\frac{2n}{2（n+1）}$=2+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，∵S₁₀=110，S₁₅=240．
∴$10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}$d=110，$15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}$d=240，
聯立解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2（n+1）}{2n}$+$\frac{2n}{2（n+1）}$=2+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=2n+$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2n+1-$\frac{1}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．