Question

10．設F是橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1的右焦點，點A（1，2），M是橢圓上一動點，則MA+MF取值范圍為（6-2$\sqrt{2}$，6+2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 橢圓左焦點設為F₁，連接MF₁．利用橢圓的定義以及在三角形中，兩邊之差總小于第三邊，當A、M、F₁成一直線時，|MA|-|MF₁|最大，求解即可．利用|MA|+|MF₂|=|MA|+6-|MF₁|=10-（|MF₁|-|MA|）≥6-|AF₁|，即可得出其最小值．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1的焦點在x軸上，a=3，b=2$\sqrt{2}$，c=1，
左焦點為F₁（-1，0），連接MF₁．
由橢圓的定義可知：|MF₁|+|MF|=2a，
|MA|+|MF|=|MA|+2a-|MF₁|=6+|MA|-|MF₁|．
即|MA|-|MF₁|最大時，|MA|+|MF₂|最大．
在△AMF₁中，兩邊之差總小于第三邊，所以當A、M、F₁成一直線時，|MA|-|MF₁|最大，
|MA|-|MF₁|=|AF₁|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴|MA|+|MF₂|的最大值是6+2$\sqrt{2}$．
∴|MA|+|MF₂|=|MA|+6-|MF₁|=6-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|=6-2$\sqrt{2}$，
∴|MA|+|MF|的取值范圍（6-2$\sqrt{2}$，6+2$\sqrt{2}$），
故答案為：（6-2$\sqrt{2}$，6+2$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查圓錐曲線的定義的應用，在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，考查數形結合思想的應用，屬于中檔題．