Question

9．圍建一個面積為300m²的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（舊墻足夠長，利用舊墻需維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為75元/m，新墻的造價為150元/m，設利用的舊墻的長度為xm（x＞0）．
（1）將總費用y元表示為xm的函數；
（2）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求最小總費用．

Answer 1

分析 （1）設矩形的另一邊長為am，然后列出總費用y元表示為xm的函數關系．
（2）利用（1）函數的解析式，通過基本不等式求解，修建圍墻的總費用的最小值．

解答 （本小題滿12分）
解：（1）設矩形的另一邊長為am，
則y=75x+150（x-2）+150•2a=225x+300a-300…（2分）
由已知xa=300，得$a=\frac{300}{x}$…（4分）
∴$y=225x+\frac{90000}{x}-300\;（x＞0）$…（6分）
（2）∵x＞0，∴$225x+\frac{90000}{x}≥2\sqrt{225×90000}=9000$…（8分）
∴$y=225x+\frac{90000}{x}-300\;≥8700$…（10分）
當且僅當$225x=\frac{90000}{x}$即x=20時，等號成立．…（11分）
答：當x=20m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是8700元．…（12分）

點評 本題考查實際問題的應用，函數的模型的選擇，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．