Question

14．數列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，又數列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差數列，則a₁=3．

Answer 1

分析 由a₃=2，a₇=1求出等差數列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}的公差，再代入通項公式求出$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，可求出a₁．

解答 解：因為數列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差數列，且a₃=2，a₇=1，
所以$\frac{1}{{a}_{7}+1}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{3}+1}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{{a}_{7}+1}$-$\frac{1}{{a}_{3}+1}$=$\frac{1}{6}$，
設{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}公差為d，則4d=$\frac{1}{6}$，故d=$\frac{1}{24}$，
所以$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{3}+1}$+（n-3）d=$\frac{1}{3}$+（n-3）×$\frac{1}{24}$=$\frac{n+5}{24}$，
故a_n=$\frac{19-n}{n+5}$，
所以a₁=$\frac{19-1}{1+5}$=3．
故答案是：3．

點評 本題考查等差數列的性質、通項公式的應用，屬于基礎題．