Question

2．已知函數f（x）=|2^x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），則下列結論中，一定成立的是（　　）

• A． 2^a+2^c＜2
• B． 2^-a＜2^c
• C． a＜0，b≥0，c＞0
• D． a＜0，b＜0，c＜0

Answer 1

分析 根據函數在區間（-∞，0）上是減函數，結合題設可得D不正確；根據函數的解析式，結合舉反例的方法，可得到B、C不正確；利用函數的單調性結合函數的解析式，對a＜c且f（a）＞f（c）加以討論，可得A是正確的．由此不難得到正確選項．

解答 解：對于A，因為a＜c，且f（a）＞f（c），說明可能如下情況成立：
（i）a、c位于函數的減區間（-∞，0），此時a＜b＜c＜0，可得f（a）＞f（b）＞f（c）與題設矛盾；
（ii）a、c不在函數的減區間（-∞，0），則必有a＜0＜c，所以f（a）=1-2^a＞2^c-1=f（c），
化簡整理，得2^a+2^c＜2成立．
對于B，取a=0，c=3，同樣f（c）=f（3）=7為最大值，
與題設矛盾，故B不正確；
對于C，若a＜0，b≥0，c＞0，可設a=-1，b=2，c=3，
此時f（c）=f（3）=7為最大值，與題設矛盾，故C不正確；
對于D，若a＜0，b＜0，c＜0，因為a＜b＜c，所以a＜b＜c＜0，
而函數f（x）=|2^x-1|在區間（-∞，0）上是減函數，
故f（a）＞f（b）＞f（c），與題設矛盾，所以D不正確；
綜上所述，可得只有A正確
故選A．

點評 本題以一個帶絕對值的函數為例，在已知自變量大小關系和相應函數值的大小關系情況下，叫我們判斷幾個不等式的正確性，著重考查了函數的圖象與單調性等知識點，屬于中檔題．