Question

17．在Rt△ABC中，∠C=90°，則$\frac{a+b}{c}$的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由已知利用三角形內角和定理，誘導公式，特殊角的三角函數值可得sinB=cosA，sinC=1，進而利用正弦定理，兩角和的正弦函數公式化簡所求可得$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+45°），結合范圍A+45°∈（45°，135°），利用正弦函數的性質可求取值范圍．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，可得：sinB=cosA，sinC=1，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
∵A∈（0°，90°），
∴A+45°∈（45°，135°），
∴sin（A+45°）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+45°）∈（1，$\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，誘導公式，特殊角的三角函數值，正弦定理，兩角和的正弦函數公式，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，熟練掌握相關公式定理的應用是解題的關鍵，屬于中檔題．