Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦點分別為F₁，F₂，P為C的右支上一點，且|PF₂|=$\frac{8}{15}$|F₁F₂|，則△PF₁F₂的面積等于（　　）

• A． $\frac{80}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 先根據雙曲線方程求出焦點坐標，再利用雙曲線的性質求得||PF₁|，求出cos∠PF₁F₂=$\frac{（\frac{34}{3}）^{2}+1{0}^{2}-（\frac{16}{3}）^{2}}{2×\frac{34}{3}×10}$=$\frac{15}{17}$，sin∠PF₁F₂=$\frac{8}{17}$，即可求出△PF₁F₂的面積．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1中a=3，b=4，c=5
∴F₁（-5，0），F₂（5，0），
∵|PF₂|=$\frac{8}{15}$|F₁F₂|，
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=6+$\frac{16}{3}$=$\frac{34}{3}$，|PF₂|=$\frac{16}{3}$，|F₁F₂|=10，
∴cos∠PF₁F₂=$\frac{（\frac{34}{3}）^{2}+1{0}^{2}-（\frac{16}{3}）^{2}}{2×\frac{34}{3}×10}$=$\frac{15}{17}$，
∴sin∠PF₁F₂=$\frac{8}{17}$，
∴△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}×\frac{34}{3}×10×\frac{8}{17}$=$\frac{80}{3}$．
故選：A．

點評 此題重點考查雙曲線的第一定義，雙曲線中與焦點，準線有關三角形問題；屬于中檔題．