Question

5．設{a_n}是正數等差數列，{b_n}是正數等比數列，且a₁=b₁，a₁₁=b₁₁，則（　　）

• A． $lg\sqrt{\frac{{{a_1}^2+{a_{11}}^2}}{2}}＞lg{a_6}＞lg{b_6}$
• B． $lg\sqrt{\frac{{{a_1}^2+{a_{11}}^2}}{2}}≥lg{a_6}≥lg{b_6}$
• C． $lg\sqrt{\frac{{{a_1}^2+{a_{11}}^2}}{2}}≥lg{b_6}≥lg{a_6}$
• D． $lg\sqrt{\frac{{{a_1}^2+{a_{11}}^2}}{2}}＜lg{a_6}＜lg{b_6}$

Answer 1

分析 先根據等差中項的性質可知a₁+a₁₁=b₁+b₁₁=2a₆，進而根據基本不等式，進而根據a₁+a₁₁=b₁+b₁₁，
再由$\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}$≥（$\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}$）²，再由等差中項的性質和對數函數的單調性，即可得到答案．

解答 解：∵a₁=b₁，₁=b₁₁
∴a₁+a₁₁=b₁+b₁₁=2a₆，
∵b₆=$\sqrt{{b}_{1}{b}_{11}}$≤$\frac{{b}_{1}+{b}_{11}}{2}$=a₆，
當等號成立時有b₁=b₁₁，此時須有q=1，d=0，
∴b₆≤a₆，即有lgb₆≤lga₆，
又$\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}$≥（$\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}$）²，
可得$\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}}$≥$\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}$=a₆，
即有lg$\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}}$≥lg$\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}$=lga₆，
綜上可得lg$\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}}$≥lga₆≥lgb₆．
故選：B．

點評 本題主要考查了等差（比）數列的性質．有些同學做錯，是因為不能靈活運用等差中項和等比中項的定義及基本不等式．