Question

20．已知函數f（x）=2^x+2^ax+b且$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）試判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代值計算，根據指數冪的運算性質，解得即可，
（Ⅱ）利用函數奇偶性求解即可，對于奇偶性的判斷，只須考慮f（-x）與f（x）的關系即得；
（Ⅲ）單調性的定義對于單調性的證明，先在定義域中任取兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，再比較f（x₁）-f（x₂）即可；

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2^x+2^ax+b且$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$，
∴2+2^a+b=$\frac{5}{2}$，且2²+2^2a+b=$\frac{17}{4}$，
即a+b=-1且2a+b=-2，
解得a=-1，b=0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2^x+2^-x，
∴f（-x）=2^x+2^-x=f（x），
∴f（x）為偶函數，
（Ⅲ）定義域中任取兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{1}}$
=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）+（${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$）
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數．

點評 本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、函數的值等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．