Question

15．如圖，半圓的直徑AB=4，O為圓心，C為半圓上不同A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則（$\overrightarrow{PA}+\overline{PB}$）•$\overline{PC}$的最小值等于（　　）

• A． 2
• B． -1
• C． -2
• D． 0

Answer 1

分析 由O為AB的中點，得出$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，求出（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$；由|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=2為定值，求出（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值．

解答 解：因為O為AB的中點，
所以$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，
從而（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$；
又|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=2為定值，
所以當且僅當|$\overrightarrow{PO}$|=|$\overrightarrow{PC}$|=1，
即P為OC的中點時，（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$取得最小值是-2．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算和基本不等式的應用問題，是基礎題目．