Question

5．過拋物線C：y²=4x焦點F的直線交拋物線C于A、B兩點，|AB|=8，過線段AB的中點作y軸的垂線，垂足為P，則|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=（　　）

• A． 36
• B． 40
• C． 50
• D． 52

Answer 1

分析 由拋物線焦點弦公式可知丨CP丨=3，利用余弦定理，分別求得丨$\overrightarrow{PA}$丨²和丨$\overrightarrow{PB}$丨²，則丨$\overrightarrow{PA}$丨²+丨$\overrightarrow{PB}$丨²=32+2丨$\overrightarrow{PC}$丨²=50．

解答 解：拋物線C：y²=4x焦點（1，0），設AB的中點C，
由拋物線的焦點弦公式可知丨AB丨=2丨CP丨+2p，
則丨CP丨=3，
由余弦定理可知：丨$\overrightarrow{PA}$丨²=丨$\overrightarrow{AC}$丨²+丨$\overrightarrow{PC}$丨²-2丨$\overrightarrow{AC}$丨丨$\overrightarrow{PC}$丨cos∠ACP，
即丨$\overrightarrow{PA}$丨²=4²+丨$\overrightarrow{PC}$丨²-2×4丨$\overrightarrow{PC}$丨cos∠ACP，
同理可得：丨$\overrightarrow{PB}$丨²=4²+丨$\overrightarrow{PC}$丨²-2×4丨$\overrightarrow{PC}$丨cos∠BCP，
由∠ACP+∠BCP=π，則cos∠BCP=-cos∠ACP，
∴丨$\overrightarrow{PA}$丨²+丨$\overrightarrow{PB}$丨²=32+2丨$\overrightarrow{PC}$丨²=50，
∴丨$\overrightarrow{PA}$丨²+丨$\overrightarrow{PB}$丨²=50，
故選C．

點評 本題考查拋物線的焦點弦公式，考查余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．