Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，過點F₂傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線與雙曲線的左支交于M點，且滿足（$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知（$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，則△MF₁F₂為等腰三角形，則丨MF₁丨=丨F₁F₂丨=2c，由直線的傾斜角的對頂角相等，則∠F₁F₂D=$\frac{π}{6}$，求得丨MF₂丨，丨MF₁丨，利用雙曲線的定義，即可求得a和c的關系，求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：取MF₂得中點D，連接MF₁，
由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，
則由2$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
則$\overrightarrow{{F}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，
∴△MF₁F₂為等腰三角形，則丨MF₁丨=丨F₁F₂丨=2c，∠F₁F₂D=$\frac{π}{6}$，
則丨F₂D丨=丨F₁F₂丨cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$c，
丨MF₂丨=2丨F₂D丨=2$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可知：丨MF₂丨-丨MF₁丨=2a，即a=（$\sqrt{3}$-1）c，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查向量的運算，考查數形結合思想，屬于中檔題．