Question

3．[已知銳角三角形ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c滿足$\sqrt{\frac{1-cos2C}{2}}+sin（B-A）=2sin2A$．
（Ⅰ）求$\frac{a}$；  
 （Ⅱ）若AB是最大邊，求cosC的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用二倍角的余弦公式，兩角和差的三角公式，求得sinBcosA=2sinAcosA，再利用正弦定理求得$\frac{a}$的值．
（Ⅱ）由條件利用余弦定理，求得cosC的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵$\sqrt{\frac{1-cos2C}{2}}=sinC=sin（A+B）$，且 $\sqrt{\frac{1-cos2C}{2}}+sin（B-A）=2sin2A$，
∴sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，
因△ABC為銳角三角形，則cosA≠0，由正弦定理有：$\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵b=2a，且a＜b≤c，則$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，即$0＜cosC＜\frac{1}{2}$，
又因$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}≤\frac{a^2}{2ab}=\frac{1}{4}$，∴cosC的取值范圍是$（0，\frac{1}{4}]$．

點評 本題主要考查二倍角的余弦公式，兩角和差的三角公式，正弦定理和余弦定理的應用，屬于中檔題．