Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+m（{x+1}）+lnx$．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)α，β，且α＜β，若f（α）＜b+1恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出α的范圍，求出$f（α）=\frac{1}{2}{α^2}-（{α+\frac{1}{α}}）（{α+1}）+lnα=-\frac{1}{2}{α^2}-α-\frac{1}{α}+lnα-1$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（α）的最大值，從而求出b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=x+m+\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}+mx+1}}{x}$，…（2分）
令g（x）=x²+mx+1，對(duì)應(yīng)△=m²-4，
若△≤0，即-2≤m≤2時(shí)，f'（x）≥0，
此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（3分）
若△＞0時(shí)，即m＜-2或m＞2時(shí)，
當(dāng)m＞2時(shí)，對(duì)應(yīng)方程的根分別為x₁，x₂，
且由根與系數(shù)的關(guān)系可知：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}•{x_2}=1＞0\\{x_1}+{x_2}=-m＜0\end{array}\right.$，
所以兩根均為負(fù)數(shù)，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
當(dāng)m＜-2時(shí)，對(duì)應(yīng)方程的兩根均為正數(shù)，
且${x_1}=\frac{{-m-\sqrt{{m^2}-4}}}{2}$，${x_2}=\frac{{-m+\sqrt{{m^2}-4}}}{2}$，
此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增，（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上：當(dāng)m≥-2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)m＜-2時(shí)，f（x）在$（{0，\frac{{-m-\sqrt{{m^2}-4}}}{2}}）$上單調(diào)遞增；
在$（{\frac{{-m-\sqrt{{m^2}-4}}}{2}，\frac{{-m+\sqrt{{m^2}-4}}}{2}}）$上單調(diào)遞減；
在$（{\frac{{-m+\sqrt{{m^2}-4}}}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)α，β，則m＜-2，
且$\left\{\begin{array}{l}α•β=1\\ α+β=-m\end{array}\right.$即：$α+\frac{1}{α}=-m＞2$，解得0＜α＜1…（8分）
$f（α）=\frac{1}{2}{α^2}-（{α+\frac{1}{α}}）（{α+1}）+lnα=-\frac{1}{2}{α^2}-α-\frac{1}{α}+lnα-1$，
$f'（α）=-α-1+\frac{1}{α^2}+\frac{1}{α}=\frac{{-{α^3}-{α^2}+α+1}}{α^2}=\frac{{（{α+1}）（{1-{α^2}}）}}{α^2}$．…（9分）
∵0＜α＜1，∴f'（α）＞0，即函數(shù)y=f（α）在0＜α＜1上單調(diào)遞增，…（10分）
∴$f{（α）_{max}}＜f（1）=-\frac{7}{2}$，∴$b+1≥-\frac{7}{2}$，即$b≥-\frac{9}{2}$．
綜上可得：$b≥-\frac{9}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．