Question

6．已知函數f（x）=2asin?xcos?x+2$\sqrt{3}$cos²?x-$\sqrt{3}$（a＞0，?＞0）的最大值為2，且最小正周期為π．
（1）求函數f（x）的解析式及期對稱軸方程；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）根據條件函數最值和周期，利用三角函數的公式進行化簡即可求a和ω的值，即可求出函數的解析式和對稱軸方程；
（2）根據（1）中正弦函數的自變量的取值范圍來求函數的最值．

解答 解：（1）f（x）=2asin?xcos?x+2$\sqrt{3}$cos²?x-$\sqrt{3}$
=asin2?x+$\sqrt{3}$cos2?x=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（2?x+φ），
由題意f（x）的周期為π，所以$\frac{2π}{2ω}$，
得?=1，
∵f（x）最大值為2，故$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2，
又a＞0，
∴a=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
解得f（x）的對稱軸為x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z）．
（2）由$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得、
$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
∴函數f（x）的單調遞增區間是$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]，k∈Z$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用條件求出函數的解析式是解決本題的關鍵．同時也考查三角函數倍角公式的應用．