Question

18．若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=$\frac{2}{3}$，則sin（α-β）的值為-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意利用同角三角函數的基本關系求得 2sinαcosβ=cosαsinβ，再根據cosαsinβ=$\frac{2}{3}$，求得 sinαcosβ的值，利用兩角差的正弦公式求得sin（α-β）的值．

解答 解：∵tanβ=2tanα，即$\frac{sinβ}{cosβ}$=2$\frac{sinα}{cosα}$，
∴2sinαcosβ=cosαsinβ．
∵cosαsinβ=$\frac{2}{3}$，∴sinαcosβ=$\frac{1}{3}$，則sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{3}$，
故答案為：$-\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角差的正弦公式的應用，屬于基礎題．