Question

7．設函數f（x）=kx²-kx，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}lnx，x≥1\\-{x^3}+（{a+1}）{x^2}-ax，0＜x＜1\end{array}$，若使得不等式f（x）≥g（x）對一切正實數x恒成立的實數k存在且唯一，則實數a的值為2．

Answer 1

分析 根據題意：g（x）=lnx（x≥1），圖象過（1，0），所以二次函數圖象過（1，0），即k=1，可得函數f（x）=x²-x，當0＜x＜1時，要使f（x）對一切正實數x恒成立，即x²-x≥-x³+（a+1）x²-ax．利用二次函數的性質求解即可．

解答 解：由題意：函數f（x）=kx²-kx，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}lnx，x≥1\\-{x^3}+（{a+1}）{x^2}-ax，0＜x＜1\end{array}$，
當g（x）=lnx（x≥1），圖象過（1，0），使得不等式f（x）≥g（x）對一切正實數x恒成立的實數k存在且唯一，即kx²-kx-lnx≥0，令m（x）=kx²-kx-lnx≥0
則m′（x）=2kx-k-$\frac{1}{x}$≥0．
實數k存在且唯一，當x=1時，解得k=1．
即k=1．可得函數f（x）=x²-x．
當0＜x＜1時，要使f（x）≥g（x）對一切正實數x恒成立，即x²-x≥-x³+（a+1）x²-ax．
令h（x）=x²-ax+a-1≥0，
∵對一切正實數x恒成立且唯一，
∴△=a²-4（a-1）=0，
解得：a=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了分段函數的值域來求解恒成立問題．