Question

2．贛榆區自行車主題景觀大道引進50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日125元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．
規定：每輛自行車的日租金不超過20元，每輛自行車的日租金2x元只取整數，并要求出租所有自行車一日的總收入必須超過一日的管理費用，用y表示出租所有自行車的日凈收入（即一日中出租所有自行車的總收入減去管理費后的所得）．
（1）求函數f（x）的解析式及定義域；
（2）試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應定為多少元？日凈收入最多為多少元？

Answer 1

分析 （1）當x≤6時，y=50x-125，令50x-125＞0，解得x．當6＜x≤20時，y=[50-3（x-6）]x-125，即可得出．
（2）分別利用一次函數與二次函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）當x≤6時，y=50x-125，令50x-125＞0，解得x＞2.5，
∵x∈N，∴3≤x≤6，x∈N．
當6＜x≤20時，y=[50-3（x-6）]x-125=-3x²+68x-125；
綜上所述，$y=\left\{\begin{array}{l}50x-125，3≤x≤6，x∈N\\-3{x^2}+68x-125，6＜x≤20，x∈N\end{array}\right.$．
（2）當3≤x≤6且x∈N時，∵y=50x-125是增函數，∴當x=6時，y_max=175元．
當6＜x≤20且x∈N時，$y=-3{x^2}+68x-125=-3{（x-\frac{34}{3}）^2}+\frac{781}{3}$，
∴x=11時，y_max=260元．
綜上所述，當每輛自行車日租金定在11元時才能使得日凈收入最多，為260元．

點評 本題考查了分段函數的應用、一次函數與二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．