Question

11．設P是圓O：x²+y²=16上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|=$\frac{3}{4}$|PD|．
（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）求過點（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線被C所截線段的長度．

Answer 1

分析 （1）設M的坐標為（x，y），P的坐標為（x_P，y_P），由已知得x_P=x，y_P=$\frac{4}{3}$y，由此能求出C的方程．
（2）過點（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線方程為y=$\frac{3}{4}$（x-2），與$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1聯立可得x²-2x-6=0，即可求出過點（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線被C所截線段的長度．

解答 解：（1）設M的坐標為（x，y），P的坐標為（x_P，y_P），
∵P是圓x²+y²=16上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|=$\frac{3}{4}$|PD|，
∴x_P=x，y_P=$\frac{4}{3}$y，
∵P在圓上，∴x²+$\frac{16}{9}$y²=16，即C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
  （2）過點（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線方程為y=$\frac{3}{4}$（x-2），與$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1聯立可得x²-2x-6=0
∴過點（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線被C所截線段的長度=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}•\sqrt{4+24}$=$\frac{5\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查過點（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線被C所截線段的長度，解題時要認真審題，注意韋達定理和根的判別式的合理運用．