Question

19．已知函數f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用兩角和余差和二倍角基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內層函數看作整體，放到正弦函數的減區間上，解不等式得函數的單調遞減區間；
（2）x在$[{0，\frac{π}{2}}]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意：函數f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R；
化簡可得：$f（x）=4sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）$
=$4sinx（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx}）$
=$2\sqrt{3}sinxcosx-2{sin^2}x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x-1$
=$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）-1$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）-1$．
根據正弦函數的圖象和性質：
可得$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，是單調遞減，
解得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，
所以函數f（x）的單調減區間為$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$．
（Ⅱ）因為$0≤x≤\frac{π}{2}$，
所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
故得$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
于是 $-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，
所以-2≤f（x）≤1．
當且僅當$x=\frac{π}{2}$時 f（x）取最小值$f{（x）_{min}}=f（\frac{π}{2}）=-2$；
當且僅當$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$時最大值$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{6}）=1$．
故得函數f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值是1，最小值為-2．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．