Question

4．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等比數列，則此橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 設出橢圓的焦距、短軸長、長軸長分別為2c，2b，2a，通過橢圓的短軸長是長軸長與焦距的等比中項，建立關于a，b，c的等式，求出橢圓的離心率即可．

解答 解：設出橢圓的焦距、短軸長、長軸長分別為2c，2b，2a，
∵橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等比數列，
∴4b²=2a•2c，
∴b²=a•c
∴b²=a²-c²=a•c，
由e=$\frac{c}{a}$，
兩邊同除以a²得：e²+e-1=0，
解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由0＜e＜1，
∴e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的基本性質，等比數列性質的應用，考查計算能力，屬于基礎題．