Question

6．已知雙曲線的一個焦點為（4，0），離心率為e=2．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）寫出該雙曲線的漸進線方程，并求它的焦點（4，0）到另一條漸進線的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：雙曲線的焦點在x軸，設雙曲線的標準方程為：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，由題意可知：c=4，e=$\frac{c}{a}$=2，即可求得a，根據雙曲線的性質即可求得b，求得雙曲線方程；
（2）由雙曲線的方程求得漸近線方程及另一個焦點，根據點到直線的距離公式即可求得焦點（4，0）到另一條漸進線的距離．

解答 解：（1）由雙曲線的一個焦點為（4，0），即焦點在x軸上，
設雙曲線的標準方程為：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
由題意有：$c=4，e=\frac{c}{a}=2$，
∴$a=\frac{c}{2}=2，{b^2}={a^2}-{c^2}=16-4=12$，
∴雙曲線的標準方程為：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$；
（2）由（1）可知：該雙曲線的漸近線方程為：$y=±\sqrt{3}x$，
焦點（4，0）到漸近線$\sqrt{3}x-y=0$距離為：$d=\frac{{4\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴焦點（4，0）到另一條漸進線的距離2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的標準方程及簡單幾何性質，考查雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．