Question

20．已知函數f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x），a＞0且a≠1，設函數h（x）=f（x）+g（x）．
（1）當a=2時，求h（x）的定義域和值域；
（2）當f（x）＞g（x）時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據對數函數的性質求出h（x）的定義域，通過換元，求出函數的值域即可；
（2）問題轉化為log_a（2+x）＞log_a（2-x），通過討論a的范圍，得到關于x的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}2+x＞0\\ 2-x＞0\end{array}\right.$，得：-2＜x＜2，
∴h（x）的定義域為{x|-2＜x＜2}，
∴$h（x）={log_2}（4-{x^2}）$，
令u=4-x²，則0＜u≤4，
∴log₂u≤2，即${log_2}（4-{x^2}）≤2$，
∴h（x）的值域為（-∞，2]．
（2）∵f（x）＞g（x），
∴log_a（2+x）＞log_a（2-x），
當a＞1時，$\left\{\begin{array}{l}2+x＞2-x\\ 2-x＞0\end{array}\right.$∴0＜x＜2；
當0＜a＜1時，$\left\{\begin{array}{l}2+x＜2-x\\ 2+x＞0\end{array}\right.$∴-2＜x＜0，
綜上所述，當a＞1時，x的取值范圍為{x|0＜x＜2}；
當0＜a＜1時，x的取值范圍為{x|-2＜x＜0}．

點評 本題考查了對數函數的性質，考查求函數的定義域、值域問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．