Question

9．已知函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{t}{2}{x^2}+kx（t＞0，k＞0）$在x=a，x=b處分別取得極大值與極小值，且a，b，-2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則t的值等于（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 求出b＞a＞0，可得：a，b，-2這三個數可適當排序為-2，a，b或b，a，-2后成等差數列，也可適當排序為a，-2，b或b，-2，a后成等比數列，即可得出．

解答 解：函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{t}{2}{x^2}+kx（t＞0，k＞0）$，
f′（x）=x²-tx+k，
若f（x）在x=a，x=b處分別取得極大值與極小值，
則a，b是方程f′（x）=0的根，
故a+b=t＞0，ab=k＞0，a＜b，
故b＞a＞0，可得：a，b，-2這三個數可適當排序為-2，a，b或b，a，-2后成等差數列，
也可適當排序為a，-2，b或b，-2，a后成等比數列，
∴2a=b-2，（-2）²=ab，
聯立解得b=4，a=1，
∴a+b=5=t，
故選：A．

點評 題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．