Question

13．在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，點D在BC上，且AD=BD，則AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理求出BC=2$\sqrt{7}$，由正弦定理，求出sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，從而cosB=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，設AD=BD=x，由余弦定理得：cosB=$\frac{1}{x}$，由此能求出AD的值．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，
∴由余弦定理得BC=$\sqrt{16+4-2×2×4×120°}$=2$\sqrt{7}$，
由正弦定理，得：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{AC•sinA}{BC}$=$\frac{4•sin120°}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∴cosB=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∵AD=BD，∴設AD=BD=x，
由余弦定理得：cosB=$\frac{4+{x}^{2}-{x}^{2}}{2×2×x}$=$\frac{1}{x}$，
∴AD=x=$\frac{1}{cosB}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

點評 本題考查三角形邊長的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方思想、數形結合思想，是中檔題．