Question

4．已知函數f（x）是R上的奇函數，且滿足f（π-x）=f（x），當0≤x≤$\frac{π}{2}$時，f（x）=cosx-1，則當0≤x≤π時，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（　　）

• A． π-2
• B． 2π-4
• C． 3π-6
• D． 4π-8

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性得到函數的周期是2π，分別求出函數的解析式，利用積分的應用即可得到結論．

解答 解：由f（π-x）=f（x）得f（x+π）=f（-x）=-f（x），
當0≤x≤$\frac{π}{2}$，由已知得到f（x）=cosx-1，
∵f（x）是R上的奇函數，
∴當$\frac{π}{2}$＜x≤π時，0＜π-x≤$\frac{π}{2}$，
所以由f（π-x）=f（x）=cos（π-x）-1=-cosx-1，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx-1，0≤x≤\frac{π}{2}}\\{-cosx-1，\frac{π}{2}＜x≤π}\end{array}\right.$，
所以當0≤x≤π時，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積-${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（cosx-1）dx+{∫}_{\frac{π}{2}}^{π}（-cosx-1）dx$=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（1-cosx）dx+{∫}_{\frac{π}{2}}^{π}（cosx+1）dx$=（x-sinx）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$+（sinx+x）|${\;}_{\frac{π}{2}}^{π}$=π-2；
故選A．

點評 本題主要考查利用積分求面積，根據函數的奇偶性和周期性分別求出對應的解析式是解決本題的關鍵．