Question

9．畫邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三視圖中的正視圖時，若以△A₁C₁D所在的平面為投影面，則得到的正視圖面積為（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 4
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在平面A₁C₁D中建立坐標系，求出正方體各點在此平面上的投影坐標即可得出投影面積．

解答 解：顯然△A₁C₁D是邊長為2$\sqrt{2}$的等邊三角形，且BD₁⊥平面A₁C₁D，
設垂直為O，則O為△A₁C₁D的中心，
由V${\;}_{{D}_{1}-{A}_{1}{C}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{2}）^{2}×O{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$，
∴OD₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
以O為坐標原點，以A₁C₁的平行線為x軸，以DO為y軸，以OD₁為z軸建立空間坐標系，如圖所示：

∴A在平面xoy上的投影為（-$\sqrt{2}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），D在平面xoy上的投影為（0，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），A₁在平面xoy上的投影為（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
B₁在平面xoy上的投影為（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），C₁在平面xoy上的投影為（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），C在平面xoy上的投影為（$\sqrt{2}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴正方體正視圖的面積為S=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$=4$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了空間幾何體的應用問題，也考查了空間想象能力與邏輯推理能力的應用問題，