Question

19．已知不等式|x-2|＜|x|的解集為$（{\frac{m}{2}，+∞}）$．若不等式a-5＜|x+1|-|x-m|＜a+2對x∈（0，+∞）恒成立，則實數a的取值范圍為（1，4]．

Answer 1

分析 解不等式得出m的值，再利用絕對值不等式和絕對值的意義得出|x+1|-|x-m|在（0，+∞）上的范圍，從而得出a的范圍．

解答 解：∵|x-2|＜|x|，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-x＜-x}\\{x≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2-x＜x}\\{0＜x≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-2＜x}\\{x＞2}\end{array}\right.$，
解得x＞1，∴$\frac{m}{2}$=1，即m=2．
∵|x+1|-|x-2|≤|x+1-x+2|=3，當且僅當x≥2時取等號，
∴3＜a+2，解得a＞1；
∵x＞0，∴|x+1|-|x-2|＞1-2=-1，
∴a-5≤-1，解得a≤4．
綜上可得1＜a≤4．
故答案為：（1，4]．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，屬于中檔題．