Question

3．定義函數的“拐點”如下：設f′（x）是函數f（x）的導數，f′（x）是函數f（x）的導函數，若方程f''（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”，已知任何三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心：若f（x）=x³-9x²+20x-4，數列{a_n}為等差數列，a₅=3，則f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=（　　）

• A． 44
• B． 36
• C． 27
• D． 18

Answer 1

分析 由題意對已知函數求兩次導數可得函數圖象關于點（3，2）對稱，即f（x）+f（6-x）=4，再結合等差數列的性質即可求出．

解答 解：∵f′（x）=3x²-18x+20，
∴f″（x）=6x-18，
令f″（x）=6x-18=0得x=3，
∵f（3）=3³-9×9+20×3-4=2，
∴拐點（3，2），
∴函數f（x）關于點（3，2）對稱
∴f（x）+f（6-x）=4，
∵數列{a_n}為等差數列，a₅=3，
∴f（a₁）+f（a₉）=2f（a₅）=4，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=4×4+2=18，
故選：D．

點評 本題是新定義題，考查了函數導函數的零點的求法，考查了函數的性質，解答的關鍵是尋找函數值所滿足的規律，是中檔題．