Question

12．已知D（x₀，y₀）為圓O：x²+y²=12上一點，E（x₀，0），動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ED}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OE}$，設動點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若動直線l：y=kx+m與曲線C相切，過點A₁（-2，0），A₂（2，0）分別作A₁M⊥l于M，A₂N⊥l于N，垂足分別是M，N，問四邊形A₁MNA₂的面積是否存在最值？若存在，請求出最值及此時k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設P（x，y），則$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}（0，{y}_{0}）$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₀，0）=$（\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．可得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}$，y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，解得x₀=$\sqrt{3}$x，y₀=2y，又${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=12，代入圓的方程即可得出．
（2）聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△=0，可得：m²=3+4k²．A₁（-2，0）到l的距離d₁=$\frac{|-2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，A₂（2，0）到l的距離d₂=$\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，可得|MN|²=$|{A}_{1}{A}_{2}{|}^{2}$-$|p9vv5xb5_{1}-p9vv5xb5_{2}{|}^{2}$=$\frac{16}{1+{k}^{2}}$.$p9vv5xb5_{1}^{2}+p9vv5xb5_{2}^{2}$=$\frac{12+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．可得四邊形A₁MNA₂的面積S=$\frac{（p9vv5xb5_{1}+p9vv5xb5_{2}）|MN|}{2}$，利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）由題意設P（x，y），則$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}（0，{y}_{0}）$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₀，0）=$（\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．
∴$x=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}$，y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，解得x₀=$\sqrt{3}$x，y₀=2y，
又${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=12，代入可得：3x²+4y²=12，化為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）=0，
可得：m²=3+4k²．A₁（-2，0）到l的距離d₁=$\frac{|-2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
A₂（2，0）到l的距離d₂=$\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則|MN|²=$|{A}_{1}{A}_{2}{|}^{2}$-$|p9vv5xb5_{1}-p9vv5xb5_{2}{|}^{2}$=16-[$\frac{（2k-m）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{（2k+m）^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{2|4{k}^{2}-{m}^{2}|}{1+{k}^{2}}$]
=16-$（\frac{2{m}^{2}+8{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-\frac{6}{1+{k}^{2}}）$=16-$（\frac{6+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-\frac{6}{1+{k}^{2}}）$=16-$\frac{16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{16}{1+{k}^{2}}$．
$p9vv5xb5_{1}^{2}+p9vv5xb5_{2}^{2}$=$\frac{（2k-m）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{（2k+m）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{2|4{k}^{2}-{m}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{6+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+\frac{6}{1+{k}^{2}}$=$\frac{12+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
∴四邊形A₁MNA₂的面積S=$\frac{（p9vv5xb5_{1}+p9vv5xb5_{2}）|MN|}{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{12+16{k}^{2}}{1+{k}^{2}}•\frac{16}{1+{k}^{2}}}$=4$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$=4$\sqrt{4-（\frac{1}{1+{k}^{2}}-2）^{2}}$≤4$\sqrt{3}$．
當k=0時，取等號．

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程方程、直線與橢圓相切的性質、點到直線的距離公式、四邊形面積計算公式、二次函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．