Question

8．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（1）把C₁的參數方程化為極坐標方程；
（2）求C₁與C₂交點的坐標．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數方程消去參數t，得到普通方程，再由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，能求出C₁的極坐標方程．
（2）曲線C₂的極坐標方程化為直角坐標方程，與C₁的普通方程聯立，求出C₁與C₂交點的直角坐標，由此能求出C₁與C₂交點的極坐標．

解答 解：（1）將$\left\{\begin{array}{l}{x=4+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$，消去參數t，化為普通方程（x-4）²+（y-5）²+25，
即C₁：x²+y²-8x-10y+16=0，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入x²+y²-8x-10y+16=0，
得ρ²-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0．
∴C₁的極坐標方程為ρ²-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0．
（2）∵曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ．
∴曲線C₂的直角坐標方程為x²+y²-2y=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-8x-10y+16=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C₁與C₂交點的極坐標為（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$）和（2，$\frac{π}{2}$）．

點評 本題考查曲線極坐標方程的求法，考查兩曲線交點的極坐標的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．