Question

16．在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+cosα\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+sinα\end{array}\right.$（α為參數），且直線l與曲線C交于A，B兩點，求AB的長．

Answer 1

分析 直線l的參數方程消去參數t得直線l的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線C的參數方程消去參數，得曲線C的直角坐標方程為（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，先求出圓心（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線l的距離，再利用勾股定理能求出AB．

解答 解：∵直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），
∴消去參數t得直線l的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+cosα\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+sinα\end{array}\right.$（α為參數），
∴曲線C的直角坐標方程為（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，
∴圓心（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴AB=2$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查直線被圓所截弦長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．