Question

14．已知定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），若對于任意實數x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）-2為奇函數，則不等式f（x）＜2e^x的解集為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，e²）
• D． （e²，+∞）

Answer 1

分析 根據條件構造函數令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，由求導公式和法則求出g′（x），根據條件判斷出g′（x）的符號，得到函數g（x）的單調性，再由奇函數的結論：f（0）=0求出g（0）的值，將不等式進行轉化后，利用g（x）的單調性可求出不等式的解集．

解答 解：由題意令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上是單調遞減函數，
∵y=f（x）-2為奇函數，
∴f（0）-2=0，即f（0）=2，g（0）=2，
則不等式f（x）＜2e^x等價為$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜2=g（0），
即g（x）＜g（0），
解得x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞），
故選：B．

點評 本題主要考查導數與函數的單調性關系，奇函數的結論的靈活應用，以及利用條件構造函數，利用函數的單調性解不等式是解決本題的關鍵，考查學生的解題構造能力和轉化思想．