Question

19．設f（x）=|3x-2|+|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）=|3x-2|+|x-2|≤8；
（Ⅱ）對任意的x，f（x）≥（m²-m+2）•|x|恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）討論x的范圍，去絕對值符號，解出x；
（II）利用絕對值三角不等式的性質求出$\frac{f（x）}{|x|}$的最值，從而得出m的范圍．

解答 解：（I）當x$≤\frac{2}{3}$時，不等式為2-3x+2-x≤8，
解得x≥-1，∴-1≤x≤$\frac{2}{3}$；
當$\frac{2}{3}＜x＜2$時，不等式為3x-2+2-x≤8，
解得x≤4，∴$\frac{2}{3}＜x＜2$；
當x≥2時，不等式為3x-2+x-2≤8，
解得x≤3；∴2≤x≤3．
綜上，f（x）≤8的解集為[-1，3]．
（II）∵f（x）≥（m²-m+2）•|x|恒成立，
即|3x-2|+|x-2|≥（m²-m+2）•|x|恒成立，
顯然當x=0時，不等式恒成立，
當x≠0時，m²-m+2≤$\frac{|3x-2|}{|x|}$+$\frac{|x-2|}{|x|}$=|3-$\frac{2}{x}$|+|1-$\frac{2}{x}$|≤|3-$\frac{2}{x}$-（1-$\frac{2}{x}$）|=2，
∴m²-m+2≤2，解得：0≤m≤1．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式的應用，屬于中檔題．